Переход к методам интенсивного развития экономики, создание безотходных и экологически чистых технологий, проектирование сложных многофункциональных систем, удовлетворяющих противоречивым требованиям, обеспечение эффективного взаимодействия людей и коллективов в социальных системах требуют выработки рациональных научно-технических, проектных и управленческих решений. Формирование таких решений обычно опосредовано несовпадающими интересами сторон (например, заказчиков, проектировщиков, производителей, поставщиков, потребителей и т.п.), реализующих эти решения в партнерском взаимодействии друг с другом или в отношениях острого противостояния (как это бывает, например, при военных столкновениях). Следствием несовпадения интересов является противоречивость возникающих задач выбора. Переход российского общества на рыночные пути развития с присущей им высокой соревновательностью, формирование политической системы с более широкими (и остроконкурентными) возможностями выдвижения в лидеры, признание, что в обществе нет единой для всех правды, превращают ситуацию конфликта (т.е. ситуацию взаимодействия при несовпадающих интересах) в типичный аспект общественных отношений. Важным инструментом повышения качества обсуждаемых решений являются научные подходы, раскрывающие фундаментальные характеристики конфликтного поведения на основе математического моделирования процессов выбора. Цель дисциплины "Теория игр и исследование операций" состоит в изучении основных понятий, утверждений и методов, играющих фундаментальную роль в моделировании процесса выработки эффективных решений. Изучение курса включает освоение ряда принципиальных вопросов: - каким образом в формальной модели отражаются основные моменты, присущие выбору (варианты действий сторон, неопределенность некоторых условий выбора, зависимость результатов от действий многих сторон и др.); - каким образом обеспечивается устойчивость выбора; - как сочетается устойчивость выбора с выгодностью результатов для каждой из сторон. В дисциплине демонстрируется также математическое единство моделей выбора решения, имеющих различную содержательную интерпретацию (задачи планирования типа линейных программ и задачи выбора при противоположных интересах типа матричных игр и др.). Требования к слушателям: Знание курсов математического анализа, дискретной математики, линейного программирования, теории вероятностей.

Описание курса: МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ И ПРИНЦИПЫ ВЫБОРА.  Принятие решений как существенная сторона целенаправленной деятельности. Искусство и наука принятия решений. Математическая модель задачи выбора решения (операция). Оперирующая сторона и ее стратегии. Исход операции. Зависимость исхода от действий нескольких сторон и неуправляемых параметров (состояний природы). Интересы сторон. Бинарные отношения как средство описания предпочтительности исходов. Представление полного квазипорядка функцией полезности. Максимизация полезности как модель цели оперирующей стороны. Критерии эффективности сторон. Модель операции в нормальной форме. Классификация разделов теории исследования операций по моделям в нормальной форме. Терминология. Выбор стратегий в модели операции в нормальной форме. Связь возможности оценки стратегии с информированностью сторон. Оценка стратегий в условиях неопределенности по гарантированному результату. Зависимость интересов сторон от принципа оценки стратегий. Устойчивость и эффективность решений. Устойчивость решений в антагонистических играх. Связь существования устойчивых решений с существованием седловой точки ядра антагонистической игры с существованием и равенством минимакса и максимина ядра антагонистической игры. Принцип минимакса (максимина) для выбора стратегий. Оптимальные стратегии в антагонистической игре. Пример анализа антагонистической модели на основе принципа минимакса ("шумная дуэль"). Вероятностная модель для состояний природы и усреднение полезностей. ПРИНЦИП МАКСИМИНА В КОНЕЧНЫХ ИГРАХ ДВУХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ.  Матричные игры. Седловая точка матрицы. Примеры игр с седловыми точками в матрицах и без седловых точек. Позиционная (развернутая) форма модели. Приведение позиционной модели к нормальной форме. Существование седловой точки матрицы в играх с полной информацией. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ. Роль информации о действиях другой стороны в антагонистической игре без устойчивых решений. Использование шаблона поведения другой стороны для прогнозирования ее решений. Случайный выбор (использование рулетки) как форма исключения шаблона поведения введением в модель неизвестных состояний природы. Введение случайного выбора как расширение понятия стратегии. Смешанные стратегии и усреднение ядра антагонистической игры. Биматричные игры. Метод графического определения всех устойчивых решений для смешанного расширения 2х2 биматричной игры, существование устойчивых решений в смешанном расширении любой 2х2 биматричной игры. Решение антагонистической 2х2 игры в смешанных стратегиях. Природа устойчивости, обеспечиваемой смешанной стратегией (антагонизм поведения без антагонизма интересов) в биматричных 2х2 играх. Смешанное расширение произвольной биматричной игры. КООПЕРАТИВНЫЙ ПОДХОД.  Внешняя стабилизация решения (арбитражные схемы). Модель формирования сделки. Аксиомы справедливого дележа (аксиомы Нэша). Существование для каждой сделки единственного дележа, удовлетворяющего аксиомам Нэша. Сравнение устойчивого и арбитражного решений. Модель с угрозами. Расширение понятия стратегии введением угроз. Аксиомы Нэша и отвечающий им дележ при заданных стратегиях угрозы. Выбор оптимальных стратегий угрозы для случая линейной с отрицательным единичным наклоном Паретовской границы множества допустимых дележей. Оптимальные угрозы как решение вспомогательной антагонистической игры. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.  Прямая и двойственная задачи с ограничениями вида неравенств и теорема двойственности (формулировка и интерпретация). Задача выбора плана производства при возможной закупке недостающего сырья и продаже излишков сырья. Совпадение максимина и минимакса введенной задачи соответственно с прямой и двойственной задачами. Связь решения матричной игры с решением линейной программы, имеющей ту же матрицу, единичные затраты ресурсов и единичные цены на продукцию. Существование решения матричной игры с любой матрицей как следствие того, что соответствующая линейная программа всегда имеет решение. Физические смеси стратегий. Случай дробимости объекта применения чистых стратегий. Меры частей объекта как аналоги компонент смешанных стратегий. Определение максимального гарантированного результата в задаче с неопределенными условиями выбора и физическими смесями стратегий методами решения матричных игр. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ.  Выбор решений в условиях неопределенности. Оценка состояний природы. Априорное распределение вероятностей для состояний природы и априорный риск. Модель испытаний с единичной выборкой и апостериорный риск. Стратегия статистика. Принцип Байеса. Байесовские стратегии и байесовский риск. Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы. Статистические гипотезы, простые и сложные гипотезы и альтернативы. Испытуемые гипотезы, принятие и отвержение гипотез, выборочная точка и критическая область, ошибки первого и второго рода. Байесовский критерий как проверка по отношению правдоподобия. Вероятности ошибок первого и второго рода (значимость и мощность критерия). Байесовский риск как функция ошибок первого и второго рода. Случай неизвестного априорного распределения для состояний природы и минимаксные стратегии статистика. ЗАДАЧИ ВЫБОРА ПРИ МНОГИХ КРИТЕРИЯХ.  Многокритериальные оценки решений. Интерпретация задач теории игр и теории статистических решений как многокритериальных задач выбора. Максиминный и байесовский принципы выбора как задачи максимизации скалярных сверток векторных критериев. Свертки, скаляризирующие выбор по ведущему частному критерию при ограничениях на остальные частные критерии. Скаляризация задач выбора при критериях, упорядоченных по важности. Эффективные и полуэффективные решения. Сведение поиска эффективных решений к задачам скалярной оптимизации. Темы практических занятий: Построение моделей операций в нормальной форме. Приемы вычисления минимаксов и максиминов для нахождения стратегий, оптимальных по гарантированному результату. Конечные игры двух лиц с нулевой суммой. Конечные игры двух лиц с переменной суммой. Статистические игры.

ЛИТЕРАТУРА Основная: Стронгин Р.Г. Исследование операций. Модели экономического поведения. - Н.Новгород: Издательство ННГУ, 2002. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1971. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. - М.: Наука, 1985. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. - М.: Наука, 1981. Грень Е. Статистические игры и их применение. - М.: Статистика, 1976. Федоров В.В. Численные методы максимина. - М.: Наука, 1979. Дополнительная: Оуэн Г. Теория игр. - М.: Наука, 1971. Блекуэлл Л., Гиршик М.А. Теория игр и статистических решений. - М.: Иностранная литература. 1958. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. - М.: Высшая школа. 1986. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. - М.: Мир, 1964. Петросян Л.А. и др. Теория игр: учебное пособие для университетов по специальности "Математика". - М.: Высшая школа, 1998.

Программа составлена проф. Р.Г.Стронгиным, доц. А.В.Баркаловым (Нижегородский госуниверситет).

Программа утверждена Учебно-методическим советом по прикладной математике и информатике 26.09.2000г.*1 (1) Программы дисциплин по направлению "Прикладная математика и информатика". - М.: Издательство факультета ВМиК МГУ, 2002, с.63 - 68.

<< вернуться  |   Документ от: 23.08.2005 13:07